Chapitre 1 — Nombres entiers et nombres rationnels

1Les nombres premiers

Activité de découverte

1.1 — Activité : Nombres premiers🔍

Cours

Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.

Exemples

2, 3, 5, 7 sont des nombres premiers.
4 n'est pas un nombre premier car il a trois diviseurs positifs : 1, 2 et 4.
12 n'est pas un nombre premier car il a six diviseurs positifs : 1, 2, 3, 4, 6 et 12.
1 n'est pas un nombre premier car il n'a qu'un diviseur positif : 1.

Le plus petit nombre premier est 2.
Tous les nombres premiers strictement supérieurs à 2 sont impairs.

2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 37 · 41 · 43
47 · 53 · 59 · 61 · 67 · 71 · 73 · 79 · 83 · 89 · 97 · 101 · 103 · 107
109 · 113 · 127 · 131 · 137 · 139 · 149 · 151 · 157 · 163 · 167 · 173 · 179 · 181

Un entier naturel est divisible par 2 quand son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
Un entier naturel est divisible par 5 quand son chiffre des unités est 0 ou 5.
Un entier naturel est divisible par 3 quand la somme de ses chiffres est aussi divisible par 3.
Un entier naturel est divisible par 9 quand la somme de ses chiffres est aussi divisible par 9.

Exercices

1.2 — Le crible d'Eratosthène🔍

1.3 — La spirale d'Ulam (6p)🔍

1.4 — Nombres premiers jumeaux (6p)🔍

1.5 — Le postulat de Bertrand (6p)🔍

1.6 — Nombres de Mersenne (6p)🔍

2Décomposition en facteurs premiers et applications

Méthode

1.7 — Méthode : Décomposer en facteurs premiers🔍

Cours

Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 peut s'écrire comme le produit de facteurs premiers. Cette décomposition est unique à l'ordre des facteurs près.

Exemples

$15 = 3 \cdot 5$ · $24 = 2^3 \cdot 3$ · $100 = 2^2 \cdot 5^2$

Les diviseurs d'un entier $a$ sont les entiers naturels dont tous les facteurs premiers apparaissent dans la décomposition de $a$, avec un exposant inférieur ou égal à celui que l'on observe dans $a$.
Les multiples d'un entier $a$ sont les entiers naturels dont la décomposition contient tous les facteurs premiers qui apparaissent aussi dans la décomposition de $a$, avec un exposant supérieur ou égal à celui que l'on observe dans $a$.

Exemples

Avec $24 = 2^3 \cdot 3$ : des diviseurs de 24 sont 6 et 8. Des multiples de 24 sont 120 et 1 848. $10 = 5 \cdot 2$ n'est pas un diviseur de 24 car 5 n'apparaît pas.

Le PGCD de $a$ et $b$, noté $a \wedge b$, est le produit des facteurs premiers qui apparaissent dans les décompositions de $a$ et de $b$, à la puissance minimale observée.
Le PPCM de $a$ et $b$, noté $a \vee b$, est le produit des facteurs premiers qui apparaissent dans les décompositions de $a$ ou de $b$, à la puissance maximale observée.

Exemple

$24 = 2^3 \cdot 3$ et $100 = 2^2 \cdot 5^2$, donc $24 \wedge 100 = 2^2 = 4$ et $24 \vee 100 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 = 600$.

Méthode

1.13 — Méthode : PGCD et PPCM🔍

Exercices

1.8 — Reconnaître des diviseurs🔍

1.9 — Lister les diviseurs🔍

1.10 — Reconnaître des multiples🔍

1.11 — Trouver des multiples🔍

1.12 — Comprendre le PGCD et le PPCM🔍

1.14 — Déterminer des PGCD et PPCM🔍

1.15 — Carreler une surface rectangulaire🔍

1.16 — Distribuer des bonbons🔍

1.17 — Carreler une terrasse carrée🔍

1.18 — Attendre des bus🔍

3Nombres rationnels

Cours

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction $\dfrac{a}{b}$ où $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs, avec $b$ non nul. $a$ est le numérateur et $b$ est le dénominateur.

Exemples

$\dfrac{1}{3}$ et $-\dfrac{27}{35}$ sont des nombres rationnels. 18 et $-0{,}6$ sont des nombres rationnels car $18 = \dfrac{18}{1}$ et $-0{,}6 = -\dfrac{3}{5}$.

Deux fractions sont équivalentes si elles sont égales au même nombre rationnel. Pour obtenir des fractions équivalentes, on multiplie ou divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.

Une fraction est irréductible si le PGCD de son numérateur et de son dénominateur est 1.

Point méthode — Simplifier une fraction

Décomposer le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers, puis simplifier les facteurs communs.

Exemple : $\dfrac{462}{105} = \dfrac{2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11}{3 \cdot 5 \cdot 7} = \dfrac{2 \cdot 11}{5} = \dfrac{22}{5}$

Point méthode — Additionner et soustraire

Ramener au même dénominateur, puis additionner les numérateurs.

Point méthode — Multiplier et diviser

Multiplier : $\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$. Diviser : $\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}$.

Toute fraction est équivalente à une unique fraction irréductible. L'expression « simplifier une fraction » signifie trouver la fraction irréductible qui lui est équivalente.

Méthode

1.19 — Méthode : Simplifier une fraction🔍

Exercices

1.20 — Simplifier des fractions🔍

1.21 — Simplifier pour ordonner🔍

1.22 — Calculer avec des rationnels – 1🔍

1.23 — Calculer avec des rationnels – 2🔍

4Nombres rationnels et notation décimale

Activité de découverte

1.24 — Activité : Fractions et décimales🔍

Cours

Un nombre décimal est un nombre dont la notation décimale est finie.
Un nombre rationnel est soit un nombre décimal, soit un nombre dont la partie décimale est infinie périodique (une suite de chiffres qui se répètent dans le même ordre).

Exemples

$\dfrac{9}{4} = 2{,}25$ (décimale finie). $\dfrac{5}{3} = 1{,}\overline{6}$. $\dfrac{611}{99} = 6{,}\overline{17}$.