1Notion de racine carrée
Cours
Soit $a$ un nombre positif. On appelle racine carrée de $a$, et on note $\sqrt{a}$, l'unique solution positive de l'équation $x^2 = a$.
Ainsi, le nombre positif $\sqrt{a}$ vérifie, par définition, $(\sqrt{a})^2 = a$.
Dans la notation $\sqrt{a}$, le symbole $\sqrt{\phantom{x}}$ est appelé radical et le nombre réel $a$ est appelé radicande.
$\sqrt{1}=1$ $\sqrt{4}=2$ $\sqrt{9}=3$ $\sqrt{16}=4$ $\sqrt{25}=5$ $\sqrt{36}=6$ $\sqrt{49}=7$
$\sqrt{64}=8$ $\sqrt{81}=9$ $\sqrt{100}=10$ $\sqrt{121}=11$ $\sqrt{144}=12$ $\sqrt{169}=13$
$\sqrt{196}=14$ $\sqrt{225}=15$ $\sqrt{256}=16$ $\sqrt{289}=17$ $\sqrt{324}=18$ $\sqrt{361}=19$ $\sqrt{400}=20$
Exercices
2Propriétés de la racine carrée
Activité de découverte
Cours
$a$ est un nombre réel. $$\sqrt{a^2} = \begin{cases} a & \text{si } a \geqslant 0 \\ -a & \text{si } a < 0 \end{cases}$$
Autrement dit, pour tout nombre réel $a$, $\sqrt{a^2} = |a|$.
$\sqrt{\pi^2} = \pi$, $\sqrt{(-3)^2} = 3$, $\sqrt{(1-\sqrt{2})^2} = \sqrt{2}-1$.
- Quels que soient les nombres positifs $a$ et $b$ : $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
- Quels que soient les nombres positifs $a$ et $b$ (avec $b \neq 0$) : $\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
La racine carrée est compatible avec la multiplication et la division, mais pas avec l'addition : si $a$ et $b$ sont positifs non nuls, alors $\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a}+\sqrt{b}$. Par exemple, $\sqrt{4+9} = \sqrt{13}$ alors que $\sqrt{4}+\sqrt{9} = 5$.
Exercices
3Méthodes : transformer une expression
Exercices
4Nombres réels. Ensembles de nombres.
Cours
L'ensemble des nombres réels, noté $\mathbb{R}$, contient :
- tous les nombres rationnels, dont la partie décimale est finie ou infinie périodique, par exemple $42$, $7{,}3$ ou $-\dfrac{19}{3}$ ;
- tous les nombres irrationnels, dont la partie décimale est infinie non périodique, par exemple $\pi$, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$.
- Les entiers naturels ($\mathbb{N}$) : $0, 1, 2, 3, \ldots$ — servent à compter.
- Les entiers relatifs ($\mathbb{Z}$) : entiers positifs, négatifs et zéro. Ex. $-1$, $527$, $-7\,569$.
- Les nombres rationnels ($\mathbb{Q}$) : quotients d'entiers relatifs. Ex. $\dfrac{12}{7}$, $-\dfrac{458}{22}$.
- Les nombres réels ($\mathbb{R}$) : tous les nombres connus en S4, y compris $\sqrt{2}$ et $\pi$.
On peut représenter $\mathbb{R}$ par une droite graduée. Chaque nombre réel correspond à un unique point de la droite.
Les ensembles s'incluent dans l'ordre :
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$
Tout entier naturel est un entier relatif, tout entier relatif est un rationnel, tout rationnel est un réel.
Exercices
5Exercices de synthèse et de révision
Synthèse et extensions
Exercices de révision
