Chapitre 3 — Puissances

1Notion de puissance et premières propriétés

Activité de découverte

3.1 — Puissances en sciences🔍

Cours

Pour un nombre réel $x$ et un entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, la notation $x^n$ représente le produit de $x$ par lui-même $n$ fois :

$x^n = \underbrace{x \cdot \ldots \cdot x}_{n \text{ fois}}$

On lit « $x$ à la puissance $n$ » ou « $x$ puissance $n$ ».

Le nombre $x$ est appelé la base.
L'entier $n$ est appelé l'exposant.

Notations : Pour tout nombre réel $x$, $x^1 = x$. Par convention, pour tout nombre réel non nul $x$, $x^0 = 1$. La notation $0^0$ est indéfinie.

Pour des nombres réels $x$ et $y$ et des entiers naturels $n$ et $m$ (tels que les expressions sont bien définies) :

$x^n \cdot x^m = x^{n+m}$
$\dfrac{x^n}{x^m} = x^{n-m}$
$(x^n)^m = x^{n \cdot m}$
$x^n \cdot y^n = (x \cdot y)^n$
$\dfrac{x^n}{y^n} = \left(\dfrac{x}{y}\right)^n$

Exercices

3.2 — Manipuler des puissances – niveau 1🔍

3.3 — Manipuler des puissances – niveau 2🔍

3.4 — Regrouper des puissances🔍

3.5 — Calculer des puissances d'entiers relatifs🔍

3.6 — Manipuler des puissances d'entiers négatifs🔍

2Inverse et exposants négatifs (6p uniquement)

Activité de découverte

3.7 — Notation de l'inverse avec un exposant🔍

Cours

Pour tout nombre réel $x$ non nul, la notation $x^{-1}$ représente l'inverse $\dfrac{1}{x}$ du nombre $x$.

Exemples

$2^{-1} = \dfrac{1}{2}$ $5^{-1} = \dfrac{1}{5}$ $\left(\dfrac{3}{4}\right)^{-1} = \dfrac{4}{3}$

Pour tout nombre réel $x$ non nul et tout entier $n$, la notation $x^{-n}$ représente le nombre $\dfrac{1}{x^n}$.

Exemples

$x^{-2} = \dfrac{1}{x^2}$ $x^{-3} = \dfrac{1}{x^3}$ $x^{-4} = \dfrac{1}{x^4}$ $x^{-5} = \dfrac{1}{x^5}$

Les règles de calcul sur les puissances (Proposition 1) sont aussi valables pour les exposants entiers relatifs.

Exemples

$2^{-3} \cdot 2^4 = 2^{-3+4} = 2^1 = 2$ $(x^{-2})^3 = x^{-6}$ $\dfrac{5^2}{5^4} = 5^{2-4} = 5^{-2} = \dfrac{1}{25}$

Exercices (6p)

3.8 — Utiliser la notation $a^{-1}$🔍

3.9 — Comprendre l'inverse de l'inverse🔍

3.10 — Puissances négatives de 10🔍

3.11 — Puissances négatives de $x$🔍

3.12 — Comprendre les exposants négatifs🔍

3.13 — Manipuler des exposants négatifs🔍

3.14 — Simplifier des expressions🔍

3.15 — Expressions algébriques – 1🔍

3.16 — Expressions algébriques – 2🔍

3Notation scientifique d'un nombre décimal (6p uniquement)

Cours

La notation scientifique d'un nombre décimal $x$ est l'unique notation de ce nombre sous la forme $x = a \cdot 10^n$, où $a$ est un nombre décimal tel que $1 \leqslant |a| < 10$, et $n$ est un entier relatif.

Exemples et contre-exemples

$158$, $-45{,}8$ et $3{,}7$ ne sont pas des notations scientifiques.
$-2{,}58749 \cdot 10^5$ est une notation scientifique (car $1 \leqslant 2{,}58749 < 10$).
$7{,}451 \cdot 10^{-4}$ est la notation scientifique de $0{,}0007451$.
$12 \cdot 10^{-8}$ n'est pas une notation scientifique car $12 > 10$.
$0{,}587 \cdot 10^2$ n'est pas une notation scientifique car $0{,}587 < 1$.