1Vocabulaire des polynômes
Cours
Un monôme est une expression de la forme $a \cdot x^n$, où $a$ est un nombre réel, appelé coefficient, et $n$ un entier naturel, appelé degré du monôme.
Un polynôme est une somme de monômes.
$P(x) = -4{,}7x^8$ : monôme de degré 8. On note $\deg(P) = 8$.
$Q(x) = 5x^2 - 3x + 2$ : polynôme de degré 2. On note $\deg(Q) = 2$.
$R(x) = 6{,}5x + 3{,}2$ : polynôme de degré 1. On note $\deg(R) = 1$.
Tout nombre $a$ non nul peut être considéré comme un monôme de degré 0.
Le degré d'un monôme $a \cdot x^n$ est l'entier naturel $n$.
Le degré d'un polynôme est celui de son monôme de plus haut degré.
Évaluer un polynôme de variable $x$, c'est calculer la valeur que prend ce polynôme pour une certaine valeur de la variable $x$.
$P(x) = x^2 - x + 3$. Évaluer $P$ en $x = -1$ : $P(-1) = (-1)^2 - (-1) + 3 = 5$.
Quand on évalue avec une valeur négative, il faut l'écrire entre parenthèses.
Réduire un polynôme, c'est regrouper les termes de même degré.
Ordonner un polynôme, c'est écrire ses termes dans l'ordre décroissant des degrés.
$A(x) = 3x + x^3 - 8 - 5x^2 + 4x^3 + x^2 + 7x$
On réduit : $B(x) = 10x + 5x^3 - 8 - 4x^2$
On ordonne : $C(x) = 5x^3 - 4x^2 + 10x - 8$
Exercices
2Opérations sur les polynômes
Cours
Pour additionner ou soustraire des polynômes, on additionne ou soustrait entre eux les termes de même degré.
Pour multiplier des polynômes, on utilise les règles de distributivité.
Simple distributivité : $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$
Double distributivité : $(a + b) \cdot (c + d) = a \cdot c + a \cdot d + b \cdot c + b \cdot d$
Exemples :
$x \cdot (3x + 5) = 3x^2 + 5x$
$(x + 2)(4x - 7) = 4x^2 - 7x + 8x - 14 = 4x^2 + x - 14$
Exercices
3Identités remarquables de degré 2
Activité de découverte
Cours
- $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ (carré d'une somme)
- $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ (carré d'une différence)
- $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ (différence de deux carrés, DOTS)
$(3x + 4)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 4 + 4^2 = 9x^2 + 24x + 16$
$(5 - x)^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot x + x^2 = x^2 - 10x + 25$
$(4x + 8)(4x - 8) = (4x)^2 - 8^2 = 16x^2 - 64$
Exercices
4Puissances de $(a+b)$ — Triangle de Pascal (6p uniquement)
Activité de découverte
Cours
- $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
- $(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$
$(x + 2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$
$(3x + 5)^4 = (3x)^4 + 4 \cdot 5 \cdot (3x)^3 + 6 \cdot 5^2 \cdot (3x)^2 + 4 \cdot 5^3 \cdot (3x) + 5^4 = 81x^4 + 540x^3 + 1350x^2 + 1500x + 625$
Les coefficients des formes développées des puissances de $(a+b)^n$ forment le triangle de Pascal. Dans ce triangle :
- Chaque ligne se commence et se termine par un 1.
- Chacun des autres nombres est la somme des deux nombres situés juste au-dessus.
$n=0$: 1
$n=1$: 1 1
$n=2$: 1 2 1
$n=3$: 1 3 3 1
$n=4$: 1 4 6 4 1
$n=5$: 1 5 10 10 5 1
Exercices
5Factorisation des polynômes
Activité de découverte
Cours
Factoriser un polynôme, c'est l'écrire sous la forme d'un produit de deux termes. On peut factoriser en utilisant :
1. Mise en évidence d'un facteur commun.
Ex. : $7x^3 - 4x^2 + x = x(7x^2 - 4x + 1)$ ; $x(2x-5) + (x^2+1)(2x-5) = (x^2+x+1)(2x-5)$
2. Différence de deux carrés (DOTS) : $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
Ex. : $x^2 - 9 = (x+3)(x-3)$ ; $4x^2 - 1 = (2x+1)(2x-1)$
3. Carré d'une somme ou d'une différence : $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ ou $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$
Ex. : $x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$ ; $9x^2 - 12x + 4 = (3x-2)^2$
Exercices
6Exercices de synthèse et de révision
Synthèse et extensions
Exercices de révision
