1Relations et proportionnalité
Cours
En mathématiques, une relation associe les éléments d'un ensemble $E$ avec les éléments d'un ensemble $G$. On peut définir une relation de plusieurs façons. Par exemple : une phrase ; une formule ; un tableau de valeurs ; un diagramme.
1. La relation qui à tout chiffre (de 0 à 9) associe tous les nombres entiers entre 1 et 100 se terminant par ce chiffre. Le chiffre 7 est associé à 7, 17, 27, etc.
2. La relation qui associe tous les nombres $x$ et $y$ tels que $x^2+y^2=2$. Par exemple, 1 et 1 sont associés, de même que $-1$ et 1, ou $-\sqrt{2}$ et 0.
3. Un tableau définit une relation : si $x \in \{1,2,3,4,5,8,10\}$, les valeurs associées de $y$ sont respectivement $12, 6, 4, 3, 2{,}4, 1{,}5, 1{,}2$.
4. Un diagramme : la relation qui à tout entier $x$ de 1 à 8 associe ses multiples parmi les entiers de 1 à 8.
- En observant les valeurs maximales du tableau, choisir une échelle adaptée pour chaque axe (largeur et hauteur proches de 10 cm).
- Construire le repère en graduant les axes. On place toujours les données de la première ligne sur l'axe des abscisses (horizontal).
- Placer un point pour chaque colonne du tableau.
- Si c'est cohérent avec la situation, relier les points par une courbe ou une droite.
Exercices
2Fonctions
Activité de découverte
Cours
Une fonction $f$ d'un ensemble $E$ dans un ensemble $G$ est une relation particulière qui à tout élément $x$ de $E$ associe un unique élément de $G$, noté $f(x)$.
- L'ensemble $E$ est l'ensemble de définition de $f$.
- Le nombre $f(x)$ est l'image de $x$ par la fonction $f$. C'est un élément de $G$.
- Le nombre $x$ est un antécédent de $f(x)$ par $f$.
Chaque élément de $E$ a une et une seule image par $f$, mais un élément de $G$ peut avoir un, plusieurs ou même aucun antécédent par $f$.
Attention : $f$ est une fonction mais $f(x)$ est un nombre, l'image de $x$ par $f$.
Associer à tout nombre réel $x$ son carré définit une fonction $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Le nombre 16 est l'image de $-4$ par $f$ ; $4$ et $-4$ sont deux antécédents de 16 par $f$.
En revanche, associer à tout entier naturel non nul $n$ un de ses diviseurs n'est pas une fonction, car un entier peut avoir plusieurs diviseurs.
Exercices
3Représentation graphique d'une fonction
Activité de découverte
Cours
Dans le plan muni d'un repère, la courbe représentative de la fonction $f$ est l'ensemble des points de coordonnées $(x\,;\,y)$ tels que $y = f(x)$. On la note $\mathcal{C}_f$, ou simplement $\mathcal{C}$.
La fonction $f$ est une relation entre des nombres, alors que sa courbe $\mathcal{C}$ est un ensemble de points.
Une courbe dans un repère est la représentation graphique d'une fonction si, et seulement si, aucune droite verticale ne coupe la courbe plus d'une fois.
Exercices
4Fonctions linéaires et fonctions affines
Activité de découverte
Cours
Une fonction affine est une fonction définie par une expression de la forme $$f(x) = mx + p$$ où $m$ et $p$ sont deux nombres réels.
- Quand $m = 0$, la formule devient $f(x) = p$. La fonction $f$ est constante.
- Quand $p = 0$, la formule devient $f(x) = mx$. La fonction $f$ est linéaire.
$f : x \mapsto \dfrac{1}{3}x - 2{,}7$ est une fonction affine.
$g : x \mapsto -42x$ est une fonction linéaire, donc affine.
$h : x \mapsto 0{,}73$ est une fonction constante, donc affine.
$k : x \mapsto x^2$ n'est pas une fonction affine.
Dans un repère, la représentation graphique :
- d'une fonction affine est une droite ;
- d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine du repère ;
- d'une fonction constante est une droite parallèle à l'axe des abscisses.
Le zéro d'une fonction affine non constante $f$ est l'antécédent de 0 par cette fonction. C'est l'unique nombre réel tel que $f(x) = 0$.
Si $f$ est une fonction affine non constante, la droite $d$ qui la représente coupe l'axe des abscisses en un point unique, dont l'abscisse est le zéro de $f$.
La droite $d$ coupe aussi l'axe des ordonnées en un point unique : son ordonnée est $f(0)$.
Exercices
5Exercices de révision
Exercices de révision
