1Fonctions de la forme $x \mapsto a \cdot x^n$
Rappels : fonctions linéaires
Activité de découverte
Cours
On appelle fonctions puissances les fonctions définies par une expression de la forme $f(x) = a \cdot x^n$, où $a$ est un nombre réel et $n$ est un entier naturel non nul.
- Les fonctions linéaires $x \mapsto a \cdot x$ sont les fonctions puissances du premier degré.
- Les fonctions $x \mapsto 5x^2$, $x \mapsto -0{,}8x^3$ et $x \mapsto 17x^4$ sont des fonctions puissances.
Pour une même valeur de $n$, les courbes des fonctions puissances ont la même allure.
Plus le paramètre $a$ est grand, plus la courbe s'éloigne rapidement de l'axe des abscisses.
Quand $a$ est négatif, la courbe est « retournée » par rapport au cas où $a$ est positif.
| $n = 2$ | $n = 3$ | $n = 4$ | $n = 5$ | |
|---|---|---|---|---|
| $a > 0$ | ||||
| $a < 0$ |
Exercices
2Équations du second degré
Activité de découverte
Cours
Pour une équation de la forme $x^2 = c$, où $c$ est un paramètre réel :
- Si $c < 0$, l'équation n'admet aucune solution réelle.
- Si $c = 0$, l'équation admet une unique solution : $x = 0$.
- Si $c > 0$, l'équation admet deux solutions réelles : $x = \sqrt{c}$ et $x = -\sqrt{c}$.
Les solutions de $x^2 = c$ sont les abscisses des points d'intersection de la parabole $y = x^2$ avec la droite horizontale $y = c$. Si $c < 0$, pas d'intersection ; si $c = 0$, une seule (l'origine) ; si $c > 0$, deux intersections d'abscisses $\sqrt{c}$ et $-\sqrt{c}$.
Pour une équation de la forme $ax^2 = b$, où $a$ et $b$ sont des paramètres réels avec $a \neq 0$, on divise l'équation par $a$ pour se ramener au cas $x^2 = c$.
Exercices
3Équations du second degré et factorisation
Activité de découverte
Cours
Une équation du second degré est une équation de la forme
$ax^2 + bx + c = 0$
où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels, avec $a \neq 0$.
Un produit de deux facteurs $A \cdot B$ est nul si, et seulement si, l'un des facteurs $A$ ou $B$ est nul.
Si $A$ ou $B$ est nul, le produit $A \cdot B$ l'est aussi. D'autre part, si $A$ et $B$ sont tous deux non nuls, le produit $A \cdot B$ n'est pas nul. En raisonnant par contraposée, si le produit $A \cdot B$ est nul, alors au moins l'un des facteurs est nul.
Pour résoudre une équation du second degré de la forme $ax^2 + bx = 0$ :
- On factorise pour se ramener à une équation produit $x(ax + b) = 0$.
- On applique la règle du produit nul : l'équation se ramène à résoudre deux cas, $$x = 0 \quad \text{ou} \quad ax + b = 0.$$
On trouve des problèmes équivalents à des équations du second degré sur des tablettes babyloniennes datant de près de 4000 ans. Mais c'est le mathématicien arabe Al-Khwarizmi qui est le premier à faire une étude systématique de ces problèmes, vers l'an 800 de notre ère. Dans son Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison, il propose des algorithmes pour six types d'équations. Cette classification se justifie par le fait qu'Al-Khwarizmi n'utilisait pas de nombres négatifs.
Exercices
4Exercices de révision
Révision
