Équations de droites

On a vu dans le chapitre 5 que la représentation graphique d'une fonction est l'ensemble des points de coordonnées $(x;y)$ tels que $y=f(x)$.

Pour une fonction affine de la forme $f(x)=m\cdot x+p$, c'est donc l'ensemble des points de coordonnées $(x;y)$ tels que $y=m\cdot x+p$. On peut démontrer que cet ensemble est une droite. On dit alors que c'est la droite d'équation $y=m\cdot x+p$.

Pour une droite d'équation $y=m\cdot x+p$ :

• le nombre $m$ est appelé coefficient directeur ;
• le nombre $p$ est appelé ordonnée à l'origine.

Soit $d$ la droite représentative d'une fonction affine $f$.

• Le zéro de $f$ est l'abscisse du point d'intersection de $d$ avec l'axe des abscisses.
• L'ordonnée à l'origine $p$ est l'ordonnée de l'intersection de $d$ avec l'axe des ordonnées.
• Si la différence entre les abscisses de deux points de $d$ est $1$, la différence $\Delta y$ entre leurs ordonnées est le coefficient directeur $m$.

• Droite parallèle à l'axe des abscisses : équation $y=p$, coefficient directeur $m=0$.
• Droite parallèle à l'axe des ordonnées : équation $x=c$, pas de coefficient directeur ni d'ordonnée à l'origine.

Un point appartient à une droite quand ses coordonnées vérifient l'équation de la droite.

Soit $d$ la droite représentative d'une fonction affine $f$. Si $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ sont deux points distincts appartenant à $d$, alors le coefficient directeur $m$ de $d$ est :

$$m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$

Deux droites $d$ et $d'$, d'équations $y=m\cdot x+p$ et $y=m'\cdot x+p'$, sont parallèles si et seulement si $m=m'$.

Deux droites $d$ et $d'$ sont perpendiculaires si et seulement si $m\cdot m'=-1$.

Toute droite admet une infinité d'équations de la forme $$ax+by+c=0,$$ où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels.