Chapitre 9 — Systèmes d'équations linéaires

1Systèmes d'équations et résolution graphique

Activité de découverte

9.1 — Un premier exemple🔍

Cours

On appelle système de deux équations linéaires à deux inconnues la donnée simultanée de deux équations linéaires de la forme $$\left\{\begin{array}{rcl} a\cdot x+b\cdot y &=& c\\ a'\cdot x+b'\cdot y &=& c'\end{array}\right.$$ où $a$, $b$, $c$, $a'$, $b'$, $c'$ sont des nombres réels connus et $x$ et $y$ sont les inconnues.

Résoudre un système, c'est trouver tous les couples $(x,y)$ pour lesquels les deux équations sont vérifiées.

Exemple

Le système $\left\{\begin{array}{rcl} x+y &=& 2\\ 2x-y &=& 1\end{array}\right.$ admet $(1\,;\,1)$ comme solution, car $1+1=2$ et $2\cdot 1-1=1$.

Toute équation de la forme $ax+by=c$ est l'équation d'une droite dans le plan. Ainsi, résoudre le système revient à déterminer les points d'intersection éventuels de deux droites.

Cas 1

$\left\{\begin{array}{l}2x+3y=3\\4x+6y=6\end{array}\right.$

Infinité de solutions
(droites confondues)

Cas 2

$\left\{\begin{array}{l}2x+3y=3\\-4x-6y=2\end{array}\right.$

Aucune solution
(droites parallèles)

Cas 3

$\left\{\begin{array}{l}2x+3y=3\\-2x+y=-3\end{array}\right.$

Solution unique : $(1{,}5\,;\,0)$
(droites sécantes)