Chapitre 11 — Le théorème de Pythagore

1Le théorème de Pythagore

Activité de découverte

11.1 — Activité : Un puzzle pour démontrer🔍

Cours

Si ABC est un triangle rectangle en A, alors $$\text{BC}^2 = \text{AB}^2 + \text{AC}^2$$

Autrement dit, « dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés ».

Démonstration

Il existe plusieurs centaines de démonstrations du théorème de Pythagore. Plusieurs d'entre elles sont des démonstrations graphiques, basées sur des découpages des carrés construits sur les côtés du triangle. Le puzzle de l'activité 11.1 en est une illustration.

Exercices

11.2 — Méthode : Calculer la longueur de l'hypoténuse🔍

11.3 — Appliquer le théorème de Pythagore🔍

11.4 — La diagonale du parc🔍

11.5 — Les diagonales des écrans🔍

11.6 — Course en diagonale🔍

11.7 — Construire des longueurs données (6p)🔍

11.8 — La spirale de Theodorus (6p)🔍

11.9 — Méthode : Calculer un côté autre que l'hypoténuse🔍

11.10 — Calculer une longueur🔍

11.11 — Des affiches🔍

11.12 — Une échelle🔍

11.13 — Calculs de longueurs (6p)🔍

2Réciproque et contraposée du théorème de Pythagore

Cours

Si dans un triangle ABC, $\text{BC}^2 = \text{AB}^2 + \text{AC}^2$, alors ce triangle est rectangle en A.

Remarques

La réciproque d'une implication « si A alors B » est l'implication « si B alors A ». Quand une implication est vraie, sa réciproque ne l'est pas nécessairement.
La réciproque du théorème de Pythagore permet de prouver qu'un triangle dont on connaît les mesures des côtés est rectangle.

Si dans un triangle ABC, $\text{BC}^2 \neq \text{AB}^2 + \text{AC}^2$, alors ce triangle n'est pas rectangle en A.

Remarques

La contraposée d'une implication « si A alors B » est l'implication « si non B alors non A ». Quand une implication est vraie, sa contraposée l'est aussi.
La contraposée du théorème de Pythagore permet de prouver qu'un triangle dont on connaît les mesures des côtés n'est pas rectangle.