1Sinus, cosinus et tangente d'un angle aigu
Cours
Dans un triangle rectangle, on s'intéresse à l'un des deux angles aigus, noté $\theta$.
- Le côté opposé à cet angle est le côté dont aucune des extrémités n'est le sommet de l'angle.
- Le côté adjacent à cet angle est le côté qui n'est pas l'hypoténuse et dont une extrémité est le sommet de l'angle.
Dans un triangle rectangle, le sinus et le cosinus d'un angle aigu sont définis par : $$\sin(\theta)=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} \quad \text{et} \quad \cos(\theta)=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}.$$
ABC est un triangle rectangle en A, avec $AB=4$, $AC=3$ et $BC=5$.
$$\sin(\widehat{ABC})=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{3}{5}=0{,}6 \qquad \cos(\widehat{ABC})=\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{4}{5}=0{,}8$$
SOH CAH TOA
sinus = opposé/hypoténuse · cosinus = adjacent/hypoténuse · tangente = opposé/adjacent
Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu, notée $\tan(\theta)$, est définie comme le rapport $$\tan(\theta)=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}.$$
Dans l'exemple précédent : $\tan(\widehat{ABC})=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3}{4}=0{,}75$
Exercices
2Déterminer les angles d'un triangle rectangle
Cours
La fonction $\sin^{-1}$ ou $\arcsin$ de la calculatrice permet de déterminer la mesure en degré d'un angle aigu connaissant le sinus de cet angle : $$\sin(\theta)=t \quad \Longleftrightarrow \quad \sin^{-1}(t)=\theta \quad \text{ou} \quad \arcsin(t)=\theta.$$
On définit de même les fonctions réciproques $\cos^{-1}$ (ou $\arccos$) et $\tan^{-1}$ (ou $\arctan$).
- $\sin(\theta)=0{,}3$ donne $\theta=\sin^{-1}(0{,}3)$, c'est-à-dire $\theta\approx 17{,}46°$.
- $\cos(\theta)=0{,}25$ donne $\theta=\cos^{-1}(0{,}25)$, c'est-à-dire $\theta\approx 75{,}52°$.
- $\tan(\theta)=0{,}5$ donne $\theta=\tan^{-1}(0{,}5)$, c'est-à-dire $\theta\approx 26{,}57°$.
Exercices
3Propriétés du sinus, du cosinus et de la tangente
Activité de découverte
Cours
Le sinus et le cosinus d'un angle aigu $\theta$ vérifient les propriétés :
- $\sin\theta$ et $\cos\theta$ sont toujours compris entre 0 et 1, exclus.
- $(\sin\theta)^2+(\cos\theta)^2=1$
La tangente d'un angle aigu $\theta$ vérifie : $$\tan(\theta)=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}.$$
Exercices
4Exercices de synthèse et de révision
Synthèse et extensions
Problèmes issus du brevet des collèges français.
Exercices de révision
