Triangles semblables et théorème de Thalès

Deux polygones sont dits semblables si

• les longueurs de l'un sont proportionnelles aux longueurs de l'autre ;
• les angles de l'un sont de même mesure que les angles de l'autre.

On dit aussi que les deux polygones sont de même forme.

Quand deux figures sont semblables, le rapport entre les longueurs de leurs côtés est appelé rapport de similitude.

• si le rapport est supérieur à 1, on dit qu'il s'agit d'un agrandissement ;
• si le rapport est inférieur à 1, on dit qu'il s'agit d'une réduction.

Quand deux figures sont semblables avec un rapport de similitude $k$, le rapport entre leurs aires est $k^2$.

On peut étendre le concept de figures semblables aux solides. Si le rapport de similitude entre deux solides semblables est $k$, alors le rapport entre leurs volumes est $k^3$.

Deux triangles sont dits isométriques ou égaux si les côtés de l'un ont les mêmes longueurs que les côtés de l'autre.

Si deux triangles sont isométriques, les mesures des angles de l'un sont égales aux mesures des angles de l'autre.

Quand deux triangles sont isométriques, chaque sommet de l'un correspond à un sommet de l'autre. Les sommets qui se correspondent sont dits homologues. De même, on parle d'angles homologues et de côtés homologues.

Pour démontrer que deux triangles sont isométriques, on utilise l'un des trois cas d'isométrie :

• Cas SSS (côté-côté-côté) : les côtés de l'un ont mêmes longueurs que ceux de l'autre.
• Cas SAS (côté-angle-côté) : deux côtés de l'un ont mêmes longueurs que deux côtés de l'autre, et les angles compris entre ces deux côtés ont même mesure.
• Cas ASA (angle-côté-angle) : un côté de l'un a même longueur qu'un côté de l'autre, et les deux angles adjacents à ces côtés sont de mêmes mesures.

Deux triangles sont semblables quand les angles de l'un ont les mêmes mesures que les angles de l'autre.

Si deux triangles sont semblables, alors les longueurs des côtés de l'un sont proportionnelles aux longueurs des côtés de l'autre.

Pour démontrer que deux triangles sont semblables, on utilise l'un des trois cas de similitude :

• Cas SSS : les côtés de l'un ont des longueurs proportionnelles à ceux de l'autre.
• Cas SAS : deux côtés de l'un ont des longueurs proportionnelles à deux côtés de l'autre, et les angles compris entre ces deux côtés ont même mesure.
• Cas AA : deux angles de l'un ont les mêmes mesures que deux angles de l'autre (le troisième est alors automatiquement égal).

Quand deux triangles sont semblables, on appelle rapport de similitude le rapport de proportionnalité entre leurs côtés correspondants.

Si deux triangles sont semblables, avec un rapport de similitude $k$, alors le rapport entre leurs aires est $k^2$.

ABC est un triangle. Si D et E sont deux points respectivement situés sur les droites (AB) et (AC) et tels que la droite (DE) est parallèle à la droite (BC), alors les triangles ABC et ADE sont semblables et on a l'égalité des rapports :

$$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$$

ABC est un triangle, D et E sont deux points respectivement situés sur les droites (AB) et (AC) tels que les points A, B, D d'une part et A, C, E d'autre part soient placés dans le même ordre. Alors, si l'égalité

$$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$$

est vraie, les droites (DE) et (BC) sont parallèles.