Vecteurs dans le plan

Trois points non alignés O, I et J définissent un repère du plan.

• Le point O est l'origine du repère.
• La droite (OI) est appelée axe des abscisses. Le segment orienté de O vers I est appelé vecteur $\overrightarrow{OI}$. Il indique la direction, le sens positif et l'unité de cet axe.
• La droite (OJ) est appelée axe des ordonnées. Le vecteur $\overrightarrow{OJ}$ indique la direction, le sens positif et l'unité de cet axe.

Pour tout point M du plan, il existe deux nombres réels $x$ et $y$ tels que, pour aller de l'origine O au point M, il faut appliquer $x$ fois le vecteur $\overrightarrow{OI}$ puis $y$ fois le vecteur $\overrightarrow{OJ}$.

• Le vecteur $\overrightarrow{OM} = x\,\overrightarrow{OI} + y\,\overrightarrow{OJ}$ est appelé vecteur position du point M.
• Le nombre $x$ est appelé abscisse du point M.
• Le nombre $y$ est appelé ordonnée du point M.
• Le couple $(x;y)$ constitue les coordonnées du point M.

Deux points A et B définissent un vecteur libre noté $\overrightarrow{AB}$. Ce vecteur est caractérisé par :

• une norme, notée $\|\overrightarrow{AB}\|$, égale à la longueur AB ;
• une direction, représentée par la droite (AB) ;
• un sens : de A vers B.

Pour tout vecteur libre $\overrightarrow{AB}$, il existe des nombres $x$ et $y$ tels que $\overrightarrow{AB} = x\,\overrightarrow{OI} + y\,\overrightarrow{OJ}$. Ces nombres constituent les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$, notées $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$.

Si les points A et B sont confondus, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est le vecteur nul $\vec{0}$, de coordonnées $\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$.

Soient $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ deux points du plan et leurs coordonnées dans un repère. Alors les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont $\begin{pmatrix}x_B - x_A\\y_B - y_A\end{pmatrix}$.

Soit $\vec{u}$ un vecteur du plan. La translation de vecteur $\vec{u}$ transforme tout point A en l'unique point A' tel que les vecteurs $\overrightarrow{AA'}$ et $\vec{u}$ ont la même direction, la même norme et le même sens.

Quand A' est l'image de A par la translation de $\vec{u}$, on dit que le vecteur $\overrightarrow{AA'}$ est un représentant du vecteur $\vec{u}$.

Quand deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont même direction, même norme et même sens, on dit qu'ils sont égaux et on note $\vec{u} = \vec{v}$. Ces vecteurs correspondent alors à la même translation du plan et ont les mêmes coordonnées.

• Si $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$, alors le quadrilatère ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati), et par conséquent $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$.
• Réciproquement, si ABCD est un parallélogramme, alors $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$.

Considérons une translation de vecteur $\vec{u}$ et A' l'image d'un point A. Alors la translation par laquelle A est l'image de A' est la translation de vecteur opposé à $\vec{u}$. Ce vecteur, dont un représentant est $\overrightarrow{A'A}$, est noté $-\vec{u}$. Les vecteurs $\vec{u}$ et $-\vec{u}$ ont la même direction, la même norme mais des sens contraires.

Les coordonnées de l'opposé d'un vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ sont $\begin{pmatrix}-x\\-y\end{pmatrix}$.

Soient deux translations de vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$. La somme des deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, notée $\vec{u} + \vec{v}$, est le vecteur associé à la translation résultant de l'enchaînement des translations de vecteur $\vec{u}$ et de vecteur $\vec{v}$.

Soient $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ deux vecteurs. Alors les coordonnées du vecteur somme $\vec{u} + \vec{v}$ sont $\begin{pmatrix}x + x'\\y + y'\end{pmatrix}$.

Pour tous points A, B, C du plan : $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$.

Si D est le point tel que $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$, alors ABDC est un parallélogramme (dont les diagonales [AD] et [BC] se coupent en leur milieu commun).

Soient $\vec{u}$ un vecteur non nul et $k$ un réel non nul. Le vecteur $\vec{v} = k\vec{u}$ est le vecteur ayant :

• une norme égale à $|k|$ fois celle de $\vec{u}$ ;
• la même direction que $\vec{u}$ ;
• le même sens que $\vec{u}$ si $k > 0$ ;
• le sens opposé à $\vec{u}$ si $k < 0$.

Soit $\vec{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ un vecteur et $k$ un nombre réel. Alors le vecteur $k\vec{u}$ a pour coordonnées $\begin{pmatrix}k\cdot x\\k\cdot y\end{pmatrix}$.

Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel $k$ non nul tel que $\vec{v} = k\vec{u}$, c'est-à-dire si l'un est un multiple de l'autre.

Intuitivement, des vecteurs colinéaires sont des vecteurs qui ont la même direction.

Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si, leurs coordonnées sont proportionnelles.

Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.

Trois points A, B et C sont alignés si, et seulement si, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.