1Caractère, effectifs, fréquences
Cours
En statistiques, on s'intéresse aux valeurs prises par un caractère dans une population. Le caractère d'une étude statistique est l'information étudiée. On dit qu'il est quantitatif si c'est un nombre et qualitatif sinon.
Exemple 1, caractère quantitatif : sur un site internet, on a relevé les prix en euros de 25 modèles d'enceintes portables.
15 ; 18 ; 18 ; 24 ; 26 ; 26 ; 28 ; 28 ; 29 ; 29 ; 29 ; 29 ; 30 ; 30 ; 30 ; 33 ; 33 ; 38 ; 38 ; 38 ; 39 ; 42 ; 42 ; 50 ; 50
Exemple 2, caractère qualitatif : on a relevé les pays de naissance de 24 élèves de la section francophone d'une école européenne : 12 élèves nés en Belgique, 6 en France, 4 en Slovaquie, 2 en Espagne.
Un diagramme branche-et-feuille est une représentation semi-graphique des données où l'on sépare chaque valeur en une « branche » et une « feuille » et on regroupe les données de la même branche. Il est important de définir clairement les branches et les feuilles.
Dans l'exemple 1, on peut prendre comme branche le chiffre des dizaines et comme feuille le chiffre des unités :
| Branche | Feuilles |
|---|---|
| 1 | 5 8 8 |
| 2 | 4 6 6 8 8 9 9 9 9 |
| 3 | 0 0 0 3 3 8 8 8 9 |
| 4 | 2 2 |
| 5 | 0 0 |
L'effectif d'une valeur du caractère est le nombre d'occurrences de cette valeur. L'effectif total de la population étudiée est la somme des effectifs de toutes les valeurs.
Dans l'exemple 1, l'effectif de la valeur 18 est 2 et l'effectif total est 25. Dans l'exemple 2, l'effectif de la valeur France est 6 et l'effectif total est 24.
Le mode d'une série statistique est la valeur qui a le plus grand effectif. Il peut y avoir plusieurs modes.
Dans l'exemple 1, le mode est 29. Dans l'exemple 2, c'est la valeur « Belgique ».
La fréquence d'une valeur du caractère étudié est le rapport entre l'effectif correspondant à cette valeur et l'effectif total. Si $E$ est l'effectif total et $e_i$ l'effectif correspondant à la $i$-ième valeur du caractère, alors la fréquence associée est $f_i = \dfrac{e_i}{E}$.
Le tableau donnant les fréquences des valeurs de la série est appelé distribution des fréquences.
- La fréquence d'une valeur d'un caractère est un nombre rationnel compris entre 0 et 1.
- La somme des fréquences d'une série statistique doit toujours être égale à 1 (à une légère imprécision près si l'on utilise des valeurs approchées).
- Les fréquences peuvent être données sous forme fractionnelle, décimale ou en pourcentage.
Le diagramme circulaire permet d'illustrer la répartition des différentes valeurs prises par un caractère statistique. Un cercle est découpé en secteurs, chaque secteur illustrant une valeur possible du caractère, avec les angles au centre des secteurs proportionnels aux effectifs. Ce type de graphique est particulièrement adapté quand le caractère est qualitatif.
Exercices
2Étude statistique d'un caractère quantitatif
Cours
Quand le caractère prend un nombre fini de valeurs, on peut construire un diagramme en bâtons. Les valeurs sont placées en abscisses, les effectifs en ordonnées. Chaque couple valeur-effectif est représenté par un point, puis chaque point est relié à l'axe des abscisses par un segment vertical.
Quand le caractère prend un grand nombre de valeurs différentes, ou s'il est quantitatif continu, on peut regrouper les données en intervalles et construire un histogramme. Pour chaque intervalle, on construit un rectangle dont la base est l'intervalle concerné et l'aire est proportionnelle à l'effectif correspondant, avec le même coefficient de proportionnalité pour tout le graphique.
L'étendue d'une série statistique est la différence entre la valeur maximale du caractère et la valeur minimale.
Dans l'exemple 1, la valeur maximale est 50 et la valeur minimale est 15, donc l'étendue est $50-15=35$.
Pour calculer la moyenne d'une série statistique, on additionne toutes les valeurs prises par le caractère et on divise cette somme par l'effectif total.
Dans l'exemple 1, la moyenne est $\dfrac{15+18+18+24+\ldots+42+42+50+50}{25}=31{,}68$. Ainsi, pour les 25 modèles étudiés, le prix moyen d'une enceinte portable est 31,68 €.
On peut calculer la moyenne en utilisant les effectifs des valeurs : on multiplie chaque valeur par son effectif, on additionne ces produits puis on divise par l'effectif total.
Dans notre exemple, la moyenne est $\dfrac{15\cdot1+18\cdot2+24\cdot1+\ldots+39\cdot1+42\cdot2+50\cdot2}{25}=31{,}68$.
Exercices
3Médiane d'une série statistique
Activité de découverte
Cours
La médiane d'une série statistique, notée Med, est une valeur telle que :
- au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à Med ;
- au moins la moitié des valeurs sont supérieures ou égales à Med.
Intuitivement, la médiane divise la population en deux parties à peu près égales. Elle peut être très différente de la moyenne.
Dans l'exemple 1, la médiane est 30 car 15 enceintes coûtent 30 € ou moins et 13 enceintes coûtent 30 € ou plus.
On suppose que les $N$ valeurs de la série sont classées par ordre croissant.
- Si $N$ est impair, alors la médiane est la valeur centrale.
- Si $N$ est pair, la médiane est n'importe quel nombre compris entre les deux valeurs centrales. On prend habituellement la moyenne de ces deux valeurs.
Dans l'exemple 1, $N=25=12+1+12$, donc la médiane est la 13e valeur. Pour la déterminer, on utilise les effectifs cumulés croissants.
L'effectif cumulé croissant (ECC) correspondant à une valeur $v$ d'un caractère est la somme des effectifs des valeurs inférieures ou égales à $v$.
Effectifs cumulés croissants pour l'exemple 1 :
| Valeur | 15 | 18 | 24 | 26 | 28 | 29 | 30 | 33 | 38 | 39 | 42 | 50 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 1 | 2 | 1 | 2 | 2 | 4 | 3 | 2 | 3 | 1 | 2 | 2 |
| ECC | 1 | 3 | 4 | 6 | 8 | 12 | 15 | 17 | 20 | 21 | 23 | 25 |
La 13e valeur est la première dont l'effectif cumulé croissant dépasse 13. On observe qu'elle est égale à 30.
Pour déterminer la médiane d'une série statistique, on décompose l'effectif total $N$ en fonction de sa parité pour déterminer la position de la médiane. On utilise ensuite un tableau d'effectifs cumulés pour la déterminer effectivement.
On peut représenter les effectifs cumulés croissants, ou les fréquences cumulées croissantes, par un polygone. Les valeurs sont placées en abscisses, les ECC en ordonnées. Chaque couple valeur-ECC est représenté par un point, puis on relie tous les points entre eux.
Exercices
4Quartiles d'une série statistique
Activité de découverte
Cours
Les quartiles d'une série statistique sont des valeurs notées $\mathsf{Q}_1$ et $\mathsf{Q}_3$, telles que :
- au moins un quart des valeurs sont inférieures ou égales à $\mathsf{Q}_1$ ;
- au moins un quart des valeurs sont comprises entre $\mathsf{Q}_1$ et Med inclus ;
- au moins un quart des valeurs sont comprises entre Med et $\mathsf{Q}_3$ inclus ;
- au moins un quart des valeurs sont supérieures ou égales à $\mathsf{Q}_3$.
Intuitivement, les quartiles et la médiane divisent la population en quatre parties d'effectifs à peu près égaux.
On suppose que les $N$ valeurs de la série sont classées par ordre croissant.
- On calcule $N\div4$. Si le résultat est un nombre entier, on le note $r_1$ ; sinon, on note $r_1$ l'entier juste au-dessus. Le premier quartile $\mathsf{Q}_1$ est alors la valeur de rang $r_1$.
- On calcule $3N\div4$. Si le résultat est un nombre entier, on le note $r_3$ ; sinon, on note $r_3$ l'entier juste au-dessus. Le troisième quartile $\mathsf{Q}_3$ est alors la valeur de rang $r_3$.
On utilise un tableau d'effectifs cumulés croissants pour déterminer effectivement la valeur de rang $r_1$ et celle de rang $r_3$.
- Avec cette méthode, $\mathsf{Q}_1$ et $\mathsf{Q}_3$ sont toujours des valeurs de la série étudiée.
- Cette méthode est celle utilisée par la plupart des calculatrices en mode Pays = France.
Dans l'exemple 1, $N=25$. On a $25\div4=6{,}25$, donc $r_1=7$ et $\mathsf{Q}_1$ est la 7e valeur. De même, $3\cdot25\div4=18{,}75$, donc $r_3=19$ et $\mathsf{Q}_3$ est la 19e valeur. Grâce aux effectifs cumulés croissants, on trouve $\mathsf{Q}_1=28$ et $\mathsf{Q}_3=38$.
L'écart interquartile est la différence entre le troisième quartile $\mathsf{Q}_3$ et le premier quartile $\mathsf{Q}_1$.
Dans l'exemple 1, l'écart interquartile est $38-28=10$.
Le diagramme en boîte est une représentation graphique qui permet de visualiser le minimum, le maximum, la médiane et les quartiles d'une série statistique.
Exercices
Exercices de révision
