1Expérience aléatoire, univers, issues
Activité de découverte
Cours
La théorie des probabilités est l'étude mathématique des phénomènes caractérisés par le hasard et l'incertitude. On y observe des expériences aléatoires et les issues possibles pour ces expériences.
- L'ensemble des issues possibles pour une expérience aléatoire est appelé univers de cette expérience. On le nomme habituellement avec la lettre grecque $\Omega$.
- Un événement est un ensemble de résultats d'une épreuve aléatoire, un sous-ensemble de l'univers. Un événement est souvent défini par une phrase et l'on doit pouvoir dire, pour une issue donnée, si l'événement se réalise ou non.
Considérons l'expérience aléatoire qui consiste à jeter un dé à six faces et à noter le chiffre de la face supérieure. Il y a six issues possibles, les chiffres de 1 à 6.
L'univers est alors l'ensemble $\Omega = \{1;2;3;4;5;6\}$.
Les phrases ci-dessous définissent des événements relatifs à cette expérience :
- le résultat est un 6 ;
- le résultat n'est pas 2 ;
- le résultat est pair ;
- le résultat est inférieur à 9 ;
- le résultat est supérieur ou égal à 3 ;
- le résultat est négatif.
Exercices
2Événements et probabilités
Activité de découverte
Cours
Intuitivement, la probabilité que l'événement se réalise (appelée simplement probabilité de l'événement) est le pourcentage de chances que cet événement se réalise.
Dans le cas où toutes les issues (ou événements élémentaires) ont la même probabilité de se réaliser, la probabilité d'un événement est donnée par la formule :
$$\dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre d'issues possibles}}\text{.}$$
Quand on jette un dé à six faces équilibré,
- la probabilité d'obtenir 6 est $\frac{1}{6}$ ;
- la probabilité de ne pas obtenir 2 est $\frac{5}{6}$ ;
- la probabilité d'obtenir un chiffre pair est $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ ;
- la probabilité d'obtenir un chiffre inférieur à 9 est $1$ ;
- la probabilité d'obtenir un résultat négatif est $0$.
On utilise souvent des lettres pour représenter les événements d'une expérience aléatoire. Par exemple, dans le cas d'un jet de dé à six faces, on peut définir par exemple les événements : S : « obtenir 6 » ; D : « obtenir 2 » ; E : « obtenir un résultat pair ». Il n'y a pas de règles sur le choix des lettres utilisées, mais on a l'habitude d'utiliser des lettres majuscules qui rappellent l'événement qu'elles décrivent (comme S pour six, par exemple).
Considérons une expérience aléatoire et un événement A. La probabilité de l'événement A est notée $P(A)$. C'est un nombre compris entre $0$ et $1$.
Dans notre exemple du dé à six faces équilibré, et avec les notations des événements introduites ci-dessus, on a $$P(S) = \frac{1}{6} \text{ et } P(E) = \frac{1}{2}\text{.}$$
Exercices
3Événements complémentaires, incompatibles, indépendants
Activité de découverte
Cours
Si A est un événement, alors l'événement complémentaire de A est l'événement constitué de toutes les issues de l'expérience qui n'appartiennent pas à A. On le note $\overline{A}$.
Pour tout événement A, on déduit directement de la définition que $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.
Dans l'exemple du dé à six faces, où S est l'événement « Obtenir 6 », $\overline{S} = \{1;2;3;4;5\}$ et $P(\overline{S}) = \frac{5}{6}$.
Deux événements A et B sont dits incompatibles si aucune issue de l'expérience n'appartient à la fois à A et à B. Par exemple, deux événements complémentaires sont toujours incompatibles. Mais deux événements incompatibles ne sont pas forcément complémentaires.
Dans notre exemple, les événements $S = \{6\}$ et $\overline{E} = \{1;3;5\}$ sont incompatibles, mais ils ne sont pas complémentaires.
Plusieurs événements constituent une partition de l'univers si toute issue de l'expérience appartient à exactement un de ces événements. Les événements qui constituent une partition sont ainsi incompatibles deux à deux.
- Deux événements complémentaires constituent toujours une partition de l'univers.
- Dans notre exemple du dé, les événements $A = \{1;2;3\}$, $B = \{4;5\}$ et S constituent une partition de l'univers.
Deux événements sont dits indépendants si la réalisation de l'un n'a aucune influence sur la réalisation de l'autre.
- Par définition, deux événements incompatibles ne sont pas indépendants, car la réalisation de l'un empêche la réalisation de l'autre.
- On jette deux fois successivement un dé classique à six faces et on considère les événements « Obtenir 6 au premier lancer » et « Obtenir 6 au deuxième lancer ». Le résultat du premier lancer n'a aucune influence sur celui du deuxième lancer, donc ces deux événements sont indépendants.
Exercices
4Exercices de révision
